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garrafa de Klein

Felix Klein nasceu a 25 de Abril de 1849 em Düsseldorf, Prussia (atual Alemanha) e faleceu em 22 de Junho de 1925 em Göttingen, Alemanha e criou o conceito da garrafa de Klein.

Felix Klein

Felix Klein

Em 1908 criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática, que padronizou o ensino de matemática no mundo. Trabalhou de 1908 até 1920 em uma pesquisa cujo objeto era a evolução da Educação Matemática em diversos países. A garrafa de Klein foi estudada em 1882.

Conhecida por suas “propriedades estranhas”, a garrafa de Klein é um objeto matemático que vive em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço de três dimensões. A garrafa de Klein, um conceito da matemática bastante interessante, trata-se de uma superfície fechada sem margens e não orientável, isto é, uma superfície onde não é possível definir um “interior” e um “exterior”.

garrafa de Klein

garrafa de Klein

A garrafa de Klein pode ser construída no sentido matemático, porque esta não pode ser concebida fisicamente sem permitirmos que a superfície apresente uma intersecção com ela mesma pela junção de ambos os lados de duas tiras de Möbius. (A fita de Möbius é um espaço topológico obtido pela colagem das duas extremidades de uma fita, após efetuar meia volta numa delas. Deve o seu nome a August Ferdinand Möbius, que a estudou em 1858).

fita de Möbius

fita de Möbius

Construção da garrafa de Klein

garrafa de Klein

garrafa de Klein

O Diagrama acima mostra um quadrado, para construir a Garrafa de Klein cole as bodas azuis e vermelhas conforme a orientação das bordas. Precisamente, a Garrafa de Klein é o espaço quociente descrito como o quadrado [0,1] × [0,1], com as faces identificadas pelas relações:

(0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1
( x, 0) ~ (1 – x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1

Quem construiu a garrafa de Klein

Mitsugi Ohno nasceu em 28 de Junho do ano de 1926 em Bato-machi, Tochigi-ken, no Japão. Graduou-se em seu curso elementar em 1939 e seus pais o enviaram para Tokyo, onde seria aprendiz de seu tio que havia adquirido a Companhia Takagi de instrumentos científicos em vidro. Durante a guerra Mitsugi trabalhou como soprador de vidro no departamento de pesquisa da Divisão de Suprimentos de Medicina Naval.

Mitsugi Ohno

Mitsugi Ohno

Mitsugi imigrou para os Estados Unidos, juntamente com sua esposa Kimiyo e seus filhos no dia 05 de Fevereiro de 1961, aos 35 anos. Ele foi para a Universidade Estadual de Kansas (KS) e o Professor Alvin B. Carwell lhe ofereceu a posição de soprador de vidro, onde desenvolveu as vidrarias usadas da universidade.

Nas horas vagas ele produzia esculturas de vidro em escala reduzida. Suas esculturas de vidro eram extremamente detalhadas e Mitsugi tornou-se conhecido na Universidade de Kansas por dizer: “Tudo aquilo que pode ser produzido com o vidro, sou capaz de fazer”.

O Professor Cardwell lhe fez um desafio: construir uma garrafa de Klein legítima em vidro. A garrafa de Klein foi inicialmente descrita no ano de 1822 pelo matemático alemão Felix Klein. Na matemática, a garrafa de Klein é uma superfície não-orientável ou informalmente, uma superfície na qual as noções de esquerda e direita ou acima e abaixo não podem ser definidas.

 

A garrafa de Klein pode ser construída (no sentido matemático, porque esta não pode ser concebida fisicamente sem permitirmos que a superfície apresente uma intersecção com ela mesma) pela junção de ambos os lados de duas tiras de Möbius. Enquanto a tira de Möbius consiste numa superfície com fronteiras, a garrafa de Klein é caracterizada como uma superfície sem fronteiras.

Após vários dias tentando, construir a garrafa de Klein com uma única abertura, Mitsugi afirmou que o objeto seria impossível de fabricar em vidro. Mas, algum tempo depois, a solução do problema foi revelada a ele num sonho e Mitsugi foi ao laboratório para soprar o vidro e fabricá-la. Essa foi a mais complexa obra de Mitsugi ao longo de sua carreira como soprador de vidro.

garrafa de Klein

garrafa de Klein

Sua primeira versão bem sucedida da garrafa de Klein em vidro encontra-se em exposição permanente na Galeria Mitsugi Ohno da Universidade Estadual de Kansas (KS). Mitsugi morreu no dia 22 de Outubro do ano de 1999.

 

 

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